[Statistics] 표준 정규 분포

참고글 : 

[Statistics] 모집단과 표본

[Statistics] 중심극한정리(표본과 모집단)

#. 표본과 모집단의 관계

- 모평균이 μ(mu), 모표준편차가 σ(sigma)인 정규분포(N(평균, 분산))에서, 

     모집단으로부터 샘플링된 표본평균들의 분포는 정규분포에 근사

     Xbar ~ N(μ, (σ/sqrt(n))^2)         * n : 표본의 크기, N(모평균, 표본분산)

1) 표본평균의 평균 ≈ "모평균" (sample size가 커질수록)

    : Xbar ≈ M(μ) 

2) 표본표준편차 ≈ "모분산(σ) / √n" 

    : s ≈ σ / √n

3) 표준화된 표본평균들의 분포는 정규분포와 근사

   : Z(Xbar) ≈ N(0,1) 

X ~ N(μ, σ²) 인 정규분포를 표준화 하면,    * 정규분포 N(평균, 분산)

X ~ N(0,1) 의 분포를 가지며, 이 분포를 "표준정규분포"라고 부름

# 표준화된 확률변수(표본평균들)의 분포 ≈ 표준정규분포

표준화된 확률변수(표본평균들)의 분포는 정규분포와 근사한다는 사실을 통해, 역으로 Z(확률변수)의 값을 구할 수 있음

표준화 : ( 확률변수(X) - 모평균(μ) ) / 표본표준편차(s)

Z(xbar) ≈ N(0,1)

Z = Xbar-Mu / sigma/sqrt(n)) 

# 표준화 예시

> height <- c(178,190,168,174,177,182,185)    # 확률변수(X) = 표본평균들의 모임

> m <- mean(height)   # 표본평균(xbar) ≈ 모평균(μ:M) 

[1] 179.1429

> s <- sd(height)  # 표본표준편차(s = sigma/sqrt(n))

[1] 7.267016

> z <- (height-m)/s   # 표준화된 값

[1] -0.1572664  1.4940304 -1.5333470 -0.7076986 -0.2948744  0.3931659  0.8059901

# 표준정규분포 곡선 예시

> x1 <- seq(-3,3,0.01)

> y1 <- dnorm(x1, mean = 0, sd = 1)  

> plot(x1, y1, type = 'l', xlab = '표준화 분포',ylab = '확률')

#표준정규분포의 특징 

1. 확률변수(평균)가 0보다 작거나 같을 or 크거나 같을 확률은 50%

  - P(X <= 0) = 0.5

  - P(X >= 0) = 0.5

2. 95%의 신뢰 수준은 [-1.96, 1.96] 구간을 가짐 

 - P(-1.96 <= X <= 1.96) = 0.95   

 - P(x <= -1.96) = 0.025 

 - P(x >= 1.96) = 0.025